Устойчивость системы из трех различно нагруженных стоек разной жесткости, связанных между собой бесконечно жесткими на изгиб ригелями
Цель: Определение критических значений сосредоточенных продольных сил различной величины, действующих на систему из трех стоек разной жесткости, связанных между собой бесконечно жесткими на изгиб ригелями, соответствующих моменту потери ее устойчивости. Определение свободных длин стоек.
Файл с исходными данными: frame_5b.spr
Формулировка задачи: Три стойки разной жесткости, заделанные в фундамент и объединенные между собой в систему бесконечно жесткими на изгиб ригелями, подвергаются воздействию сосредоточенных продольных сил различной величины k∙N. Продольные жесткости ригелей и стоек принимаются значительной величины с целью исключения их влияния на решение задачи. Определить критические значения сосредоточенных продольных сил Ncr, соответствующих моменту потери устойчивости системы. Определить свободные длины стоек H0.
Ссылки: Н.П. Мельников, В.М. Вахуркин, Б.Г. Ложкин, Расчет стержневых систем на устойчивость. Справочные данные и примеры, Москва, Проектстальконструкция, Выпуск 1395, 1954, стр. 37.
Исходные данные:
| L = 5.0 м | - длина ригелей рамы; |
| H = 7.5 м | - высота стоек рамы; |
| EA = 1.0·109 кН | - продольная жесткость стоек; |
| EIС1 = 1.14·105 кН∙м2 | - изгибная жесткость левой стойки; |
| EIС2 = 2.28·105 кН∙м2 | - изгибная жесткость средней стойки; |
| EIС3 = 4.56·105 кН∙м2 | - изгибная жесткость правой стойки; |
| 1∙N = 1.0·103 кН | - начальное значение сосредоточенной продольной силы на левой стойке; |
| 2∙N = 2.0·103 кН | - начальное значение сосредоточенной продольной силы на средней стойке; |
| 3∙N = 3.0·103 кН | - начальное значение сосредоточенной продольной силы на правой стойке. |
Конечноэлементная модель: Расчетная схема – плоская рама, стойки – 45 элементов типа 2 (сетка конечных элементов разбита по длинам продольных осей с шагом 0.5 м), ригели – 2 элемента типа 100 (трехузловые твердые тела со связями по направлениям X, Z и UY, ведущими узлами на середине пролетов ригелей и ведомыми узлами на сопряженных стойках). Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на опорные узлы стоек по направлениям степеней свободы X, Z, UY. Воздействие с начальными значениями сосредоточенных продольных сил k•N задается на узлах сопряжения элементов ригелей с элементами стоек. Количество узлов в расчетной схеме – 50.
Результаты решения в SCAD
Расчетная схема
Форма потери устойчивости
Сравнение решений:
|
Параметр |
Теория |
SCAD |
Отклонение, % |
|---|---|---|---|
|
Критическое значение сосредоточенной продольной силы на левой стойке (С1) Ncr, кН |
2332.8 (2333.6) |
2.332764∙1000 = = 2332.7 |
0.00 (0.04) |
|
Критическое значение сосредоточенной продольной силы на средней стойке (С2) Ncr, кН |
4665.6 (4667.2) |
2.332764∙2000 = = 4665.5 |
0.00 (0.04) |
|
Критическое значение сосредоточенной продольной силы на правой стойке (С3) Ncr, кН |
6998.5 (7000.8) |
2.332764∙3000 = = 6998.3 |
0.00 (0.04) |
|
Свободная длина левой стойки (С1) H0, м |
6.9448 (6.9437) |
6.9449 |
0.00 (0.02) |
|
Свободная длина средней стойки (С2) H0, м |
6.9448 (6.9437) |
6.9449 |
0.00 (0.02) |
|
Свободная длина правой стойки (С3) H0, м |
8.0192 (8.0178) |
8.0193 |
0.00 (0.02) |
В скобках приведены значения приближенного решения по методу эквивалентных рам
Замечания: При точном аналитическом решении критические значения сосредоточенных продольных сил Ncr, соответствующие моменту потери устойчивости системы, и свободные длины стоек H0 определяются по следующим формулам:
\[ {\begin{array}{*{20}c} {С1:} & {N_{cr} =\nu^{2}\cdot \frac{EI_{С1} }{H^{2}}} & {С2:} & {N_{cr} =2\cdot \nu^{2}\cdot \frac{EI_{С1} }{H^{2}}} & {С3:} & {3\cdot \nu^{2}\cdot \frac{EI_{С1} }{H^{2}}} \\ \end{array} }, \]
где ν (параметр критической нагрузки) определяется из решения трансцендентного уравнения:
\[ 6\cdot \nu \cdot \left( {\frac{tg\left( {\frac{\nu }{2}} \right)}{2\cdot tg\left( {\frac{\nu }{2}} \right)-\nu }+\frac{2\cdot tg\left( {\frac{\sqrt {3\cdot } \nu }{4}} \right)}{4\cdot tg\left( {\frac{\sqrt {3\cdot } \nu }{4}} \right)-\sqrt {3\cdot } \nu }} \right)=0; \] \[ {\begin{array}{*{20}c} {С1:} & {H_{0} =\frac{\pi \cdot H}{\nu };} & {С2:} & {H_{0} =\frac{\pi \cdot H}{\nu };} & {С3:} & {H_{0} =\frac{2}{\sqrt 3 }\cdot \frac{\pi \cdot H}{\nu }.} \\ \end{array} } \]
При приближенном аналитическом решении критические значения сосредоточенных продольных сил Ncr, соответствующие моменту потери устойчивости системы, и свободные длины стоек H0 определяются по следующим формулам:
\[ {\begin{array}{*{20}c} {С1:} & {N_{cr} =\frac{7}{6}\cdot \frac{\pi^{2}\cdot EI_{С1} }{H^{2}}} & {С2:} & {N_{cr} =\frac{7}{3}\cdot \frac{\pi ^{2}\cdot EI_{С1} }{H^{2}}} & {С3:} & {N_{cr} =\frac{7}{2}\cdot \frac{\pi^{2}\cdot EI_{С1} }{H^{2}}} \\ \end{array} }; \] \[ {\begin{array}{*{20}c} {С1:} & {H_{0} =\sqrt {\frac{6}{7}} \cdot H} & {С2:} & {H_{0} =\sqrt {\frac{6}{7}} \cdot H} & {С3:} & {H_{0} =\sqrt {\frac{8}{7}} \cdot H.} \\ \end{array} } \]