Устойчивость плоской формы изгиба консольной полосы прямоугольного поперечного сечения поперечной силой, приложенной на свободном торце (прямой изгиб)
Цель: Определение критического значения сосредоточенной поперечной силы, действующей на свободном торце консольной полосы прямоугольного поперечного сечения, соответствующего моменту потери ее устойчивости.
Файлы с исходными данными:
| 6.2_О_Р_b_0.01.spr | Толщина поперечного сечения консольной полосы – 0.01 м |
| 6.2_О_Р_b_0.1.spr | Толщина поперечного сечения консольной полосы – 0.10 м |
| 6.2_О_Р_b_1.0.spr | Толщина поперечного сечения консольной полосы – 1.00 м |
Формулировка задачи: Консольная полоса прямоугольного поперечного сечения подвергается воздействию сосредоточенной поперечной силы P, действующей на ее свободном торце. Определить критическое значение сосредоточенной поперечной силы Pcr, соответствующее моменту потери устойчивости консольной полосы.
Ссылки: С. П. Тимошенко. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. — Москва. — Наука. — 1971. — стр. 291.
А. С. Вольмир. Устойчивость деформируемых систем. — Москва. — Наука. — 1967. — стр.211;
А. В. Перельмутер, В. И. Сливкер. Устойчивость равновесия конструкций и родственные проблемы. — Том 1. — Москва. — СКАД СОФТ. — 2010. — стр. 465;
А. В. Перельмутер, В. И. Сливкер. Устойчивость равновесия конструкций и родственные проблемы. — Том 2. — Москва. — СКАД СОФТ. — 2010. — стр. 17.
Исходные данные:
| L = 10.0 м | - длина консольной полосы; |
| h = 1.0 м | - высота поперечного сечения консольной полосы; |
| b = 0.01; 0.10; 1.00 м | - толщина поперечного сечения консольной полосы; |
| E = 3.0·107 кН/м2 | - модуль упругости материала консольной полосы; |
| ν = 0.2 | - коэффициент Пуассона; |
| P1 = 1.0; 1.0·103; 1.0·105 кН | - начальное значение сосредоточенной поперечной силы, действующей на свободном торце в плоскости полосы; |
| P = 1.0; 1.0·103; 1.0·105 кН | - начальное значение сосредоточенной поперечной силы, действующей на свободном торце из плоскости полосы. |
Конечноэлементная модель: Расчетная схема – система общего вида. Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина, 2560 восьмиузловых элементов типа 150, сетка конечных элементов разбита по длине продольной оси и высоте полосы с шагом 0.0625 м. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы защемленного торца полосы по направлениям степеней свободы X, Y, Z, UX, UY, UZ. Воздействие с начальным значением сосредоточенной поперечной силы P задается в узле продольной оси полосы, расположенном на свободном торце. Количество узлов в расчетной схеме – 8033.
Устойчивость плоской формы изгиба консольной полосы проверяется при действии поперечной силы на свободном торце в плоскости полосы.
Результаты решения в SCAD
Расчетная схема. Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина
Форма потери устойчивости. Оболочечная модель теории Рейсснера-Миндлина
Сравнение решений:
Критическое значение сосредоточенной поперечной силы P1cr (кН), действующей на свободном торце в плоскости полосы
|
Расчетная модель |
Теория |
SCAD |
Отклонение, % |
|
|---|---|---|---|---|
|
Оболочечная теории Рейсснера-Миндлина |
b = 0.01 м |
0.12901 (0.12901) |
0.134811∙1 = 0.13481 |
4.50 (4.50) |
|
b = 0.10 м |
125.28 (124.66) |
0.130559∙1000 = 130.56 |
4.21 (4.73) |
|
|
b = 1.00 м |
84048 (59431) |
0.821978∙100000 = 82198 |
2.20 (38.31) |
|
В скобках указаны теоретические значения, посчитанные с учетом влияния изгибной жесткости в плоскости действия поперечной силы
Замечания: При аналитическом решении критическое значение сосредоточенной поперечной силы Pcr, соответствующее моменту потери устойчивости консольной полосы определяется по следующим формулам:
без учета влияния изгибной жесткости в плоскости действия поперечной силы
\[ P_{cr} =\frac{4.01}{l^{2}}\cdot \sqrt {B\cdot C} \]
с учетом влияния изгибной жесткости в плоскости действия поперечной силы
\[P_{cr} =\frac{4.01}{l^{2}}\cdot \sqrt {\frac{B\cdot C\cdot B_{1} }{B+B_{1} }} =\frac{k}{l^{2}}\cdot \sqrt {B\cdot C} , \quad где: \] \[ k=\frac{4.01}{\sqrt {1+\left( {\frac{b}{h}} \right)^{2}} }. \]
\[B=E\cdot \frac{h\cdot b^{3}}{12}\quad - \quad \text { наименьшая жесткость изгиба (из плоскости действия момента);} \] \[ B_{1} =E\cdot \frac{b\cdot h^{3}}{12}\quad -\quad \text { наибольшая жесткость изгиба (в плоскости действия момента);} \] \[ C=\frac{E}{2\cdot \left( {1+\nu } \right)}\cdot k_{f} \cdot h\cdot b^{3}\quad - \quad \text { жесткость свободного кручения, где:} \] \[ k_{f} =\frac{1}{3}\cdot \left\{ {1-\frac{192}{\pi^{5}}\cdot \frac{b}{h}\cdot \sum\limits_{n=1}^\infty {\left[ {\sin^{2}\left( {\frac{n\cdot \pi }{2}} \right)\cdot \frac{1}{n^{5}}\cdot th\left( {\frac{n\cdot \pi \cdot h}{2\cdot b}} \right)} \right]} } \right\}. \]