Устойчивость прямоугольной свободно опертой пластинки равномерно сжатой в одном направлении
Цель: Определение критического значения сжимающих усилий, равномерно распределенных по двум противоположным сторонам прямоугольной свободно опертой пластинки, соответствующего моменту потери ее устойчивости.
Файлы с исходными данными:
| 6.6_a_4_n_4.spr | Расчетная схема с соотношениями сторон пластины a/b = 0.5 с моделью из четырехузловых элементов оболочки типа 44 |
| 6.6_a_4_n_8.spr | Расчетная схема с соотношениями сторон пластины a/b = 0.5 с моделью из восьмиузловых элементов оболочки типа 50 |
| 6.6_a_8_n_4.spr | Расчетная схема с соотношениями сторон пластины a/b = 1.0 с моделью из четырехузловых элементов оболочки типа 44 |
| 6.6_a_8_n_8.spr | Расчетная схема с соотношениями сторон пластины a/b = 1.0 с моделью из восьмиузловых элементов оболочки типа 50 |
| 6.6_a_12_n_4.spr | Расчетная схема с соотношениями сторон пластины a/b = 1.5 с моделью из четырехузловых элементов оболочки типа 44 |
| 6.6_a_12_n_8.spr | Расчетная схема с соотношениями сторон пластины a/b = 1.5 с моделью из восьмиузловых элементов оболочки типа 50 |
Формулировка задачи: Прямоугольная свободно опертая пластина подвергается воздействию сжимающих усилий σ, равномерно распределенных по двум противоположным сторонам. Определить критическое значение сжимающих усилий σcr, соответствующее моменту потери устойчивости прямоугольной пластины.
Ссылки: С.П. Тимошенко. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. — Москва. Наука. — 1971. — стр. 621.
А.С. Вольмир. Устойчивость деформируемых систем. — Москва. — Наука. — 1967. — стр. 328.
Исходные данные:
| a = 4.0; 8.0; 12.0 м | - размер стороны прямоугольной пластины, свободной от воздействий (вдоль оси X общей системы координат); |
| b = 8.0 м | - размер стороны прямоугольной пластины, подверженной воздействию сжимающих усилий (вдоль оси Y общей системы координат); |
| h = 0.08 м | - толщина прямоугольной пластины; |
| E = 1.0·107 кН/м2 | - модуль упругости материала прямоугольной пластины; |
| ν = 1/3 | - коэффициент Пуассона; |
| σ = 1.25·103 кН/м2 | - начальное значение сжимающих усилий. |
Конечноэлементная модель: Расчетная схема – система общего вида. Для трех расчетных схем с соотношениями сторон пластины a/b = 0.5; 1.0; 1.5 рассматриваются две расчетные модели с четырехузловыми элементами оболочки типа 44 и с восьмиузловыми элементами оболочки типа 50. Сетка конечных элементов разбита по сторонам пластины (вдоль осей X и Y общей системы координат) с шагом 1.0 м. Количество элементов по схемам – 32; 64; 96. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы опорного контура пластины по направлениям степени свободы Z. На одной из двух противоположных сторон пластины, подверженных воздействию сжимающих усилий, задается равномерно распределенная по линии нагрузка с начальным значением p = σ•h = 100 кН/м, а на узлы другой накладываются связи по соответствующему направлению (вдоль оси X общей системы координат). В целях обеспечения геометрической неизменяемости расчетной схемы на узлы одной из двух противоположных сторон пластины, свободных от воздействий, накладываются связи по нормальному к ней направлению (вдоль оси Y общей системы координат). В этих же целях на узел одного из углов пластины накладываются связи по направлению UZ общей системы координат. Количество узлов по схемам (моделям) – 45 (121); 81 (225); 117 (329).
Результаты решения в SCAD
Расчетные модели для схем с соотношением сторон пластины a/b = 0.5
Расчетные модели для схем с соотношением сторон пластины a/b = 1.0
Расчетные модели для схем с соотношением сторон пластины a/b = 1.5
Формы потери устойчивости расчетных моделей для схем с соотношением сторон пластины a/b = 0.5
Формы потери устойчивости расчетных моделей для схем с соотношением сторон пластины a/b = 1.0
Формы потери устойчивости расчетных моделей для схем с соотношением сторон пластины a/b = 1.5
Сравнение решений:
Критическое значение сжимающих усилий σcr, кН/м2
|
Расчетная схема |
Расчетная модель |
Теория |
SCAD |
Отклонение, % |
|---|---|---|---|---|
|
a/b = 0.5 |
Тип элемента 44 n = 4 узла |
5783 |
4.716991∙100/0.08 = = 5896 |
1.95 |
|
Тип элемента 50 n = 8 узлов |
4.626558∙100/0.08 = = 5783 |
0.00 |
||
|
a/b = 1.0 |
Тип элемента 44 n = 4 узла |
3701 |
2.998497∙100/0.08 = = 3748 |
1.27 |
|
Тип элемента 50 n = 8 узлов |
2.960899∙100/0.08 = = 3701 |
0.00 |
||
|
a/b = 1.5 |
Тип элемента 44 n = 4 узла |
4016 |
3.264680∙100/0.08 = = 4081 |
1.62 |
|
Тип элемента 50 n = 8 узлов |
3.212803∙100/0.08 = = 4016 |
0.00 |
Замечания: При аналитическом решении критическое значение сжимающих усилий σcr, соответствующее моменту потери устойчивости прямоугольной пластины определяется по следующей формуле:
\[ \sigma_{cr} =k\cdot \frac{\pi^{2}\cdot D}{b^{2}\cdot h}, \quad где:\quad \] \[ D=\frac{E\cdot h^{3}}{12\cdot \left( {1-\nu^{2}} \right)}, \quad k=\left( {\frac{m\cdot b}{a}+\frac{a}{m\cdot b}} \right)^{2}, \]
m = 1, 2, 3 … – число полуволн формы потери устойчивости в направлении сжатия пластины, минимальное значение которого определяется из выражения:
\[ \frac{a}{b}\le \sqrt {m\cdot \left( {m+1} \right)} . \]