Устойчивость квадратной шарнирно опертой пластины равномерно сжатой в одном направлении при кинематическом воздействии

Цель: Определение критического значения сближения двух противоположных сторон квадратной шарнирно опертой пластины, соответствующего моменту потери ее устойчивости.

Файлы с исходными данными:

6.8_n_4.spr	Расчетная модель с четырехузловыми элементами оболочки типа 44
6.8_n_8.spr	Расчетная модель с восьмиузловыми элементами оболочки типа 50

Формулировка задачи: Квадратная пластина подвергается воздействию сближения Δ двух противоположных сторон, имеющих шарнирно-подвижное (свободное) опирание. Две другие противоположные стороны пластины, свободные от воздействий, имеют шарнирно-неподвижное опирание. Определить критическое значение сближения Δ_cr, соответствующее моменту потери устойчивости квадратной пластины. 

Ссылки: J.H. Argyris, P.C. Dunne, G.A. Malejannakis, E. Schelkle, A simple triangular facet shell element with applications to linear and non-linear equilibrium and elastic stability problems, Computer methods in applied mechanics and engineering, 11 (1977), p. 97-131.
S.P. Timoshenko, J.M. Gere, Theory of elastic stability, McGraw-Hill, New York, 1963, p. 356.

Исходные данные:

a = 8.0 м	- размер стороны квадратной пластины;
h = 0.08 м	- толщина квадратной пластины;
E = 1.0·107 кН/м2	- модуль упругости материала квадратной пластины;
ν = 1/3	- коэффициент Пуассона;
Δ = 1.0·10-3 м	- начальное значение сближения.

Конечноэлементная модель: Расчетная  схема – система общего вида. Рассматриваются две расчетные модели с четырехузловыми элементами оболочки типа 44 и с восьмиузловыми элементами оболочки типа 50. Сетка конечных элементов разбита по сторонам пластины (вдоль осей X и Y общей системы координат) с шагом 1.0 м.  Количество элементов в схеме – 64. Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы опорного контура пластины по направлению степени свободы Z, а также за счет наложения связей на узлы двух противоположных сторон пластины, свободных от воздействий по нормальному к ним направлению вдоль оси Y общей системы координат. На узлы двух противоположных сторон пластины, подверженных кинематическому воздействию, накладываются связи по соответствующему направлению (вдоль оси X общей системы координат). Воздействие задается смещением связей одной из этих сторон с начальным значением Δ = 1.0·10^-3 м. В целях обеспечения геометрической неизменяемости расчетной схемы на один узел контура опирания пластины накладывается связь по направлению UZ общей системы координат. Количество узлов по моделям – 81; 225.

Результаты решения в SCAD

Расчетная схема. Модель с четырехузловыми элементами оболочки

 

Расчетная схема. Модель с восьмиузловыми элементами оболочки

 

 
Форма потери устойчивости. Модель с четырехузловыми элементами оболочки

 

Форма потери устойчивости. Модель с восьмиузловыми элементами оболочки

 

Сравнение решений:

Критическое значение сжимающих усилий σ_cr, кН/м²

Расчетная модель	Теория	SCAD	Отклонение, %
Тип элемента 44 n = 4 узла	1.974•10-3	1.999043•1.0•10-3 = = 1.999•10-3	1.27
Тип элемента 50 n = 8 узлов		1.973935•1.0•10-3 = = 1.974•10-3	0.00

Замечания: При аналитическом решении критическое значение сближения  Δ_cr двух противоположных сторон квадратной шарнирно опертой пластины, соответствующее моменту потери устойчивости квадратной пластины определяется по следующей формуле:

\[ \Delta_{cr} =\frac{\pi^{2}\cdot h^{2}}{3\cdot \left( {1+\nu } \right)\cdot a}. \]