Устойчивость прямоугольной свободно опертой пластины, подкрепленной продольными ребрами, равномерно сжатой в продольном направлении (модель 1)

Цель: Определение критического значения сжимающих усилий, равномерно распределенных по двум противоположным поперечным торцам прямоугольной свободно опертой пластины, подкрепленной продольными ребрами, соответствующего моменту потери ее устойчивости.

Формулировка задачи: Прямоугольная свободно опертая пластина, подкрепленная продольными ребрами, подвергается воздействию сжимающих усилий σ, равномерно распределенных по двум противоположным поперечным торцам. Определить критическое значение сжимающих усилий σcr, соответствующее моменту потери устойчивости прямоугольной подкрепленной пластины при учете следующих допущений, принятых при выводе аналитического решения:

  • Ребра стоят симметрично относительно срединной плоскости усиливаемой пластины;
  • Не учитывается жесткость ребер на кручение;
  • Ребра и пластина испытывают равномерное сжатие. 

Ссылки: С. П. Тимошенко, Устойчивость стержней, пластин и оболочек, Москва, Наука, 1971, стр. 507.
А. С. Вольмир, Устойчивость деформируемых систем, Москва, Наука, 1967, стр. 377.

Исходные данные:

a = 0.6; 2.4 м - размер стороны прямоугольной пластины, свободной от воздействий (вдоль оси X общей системы координат);
b = 0.6 м - размер стороны прямоугольной пластины, подверженной воздействию сжимающих усилий (вдоль оси Y общей системы координат);
h = 0.01 м - толщина прямоугольной пластины;
F = 0.01•0.03 = 3•10-4 м2 - площадь поперечного сечения ребер;
I = 0.01•0.033/12 = 2.25•10-8 м4 - момент инерции поперечного сечения ребер;
s = 3 - количество ребер, равномерно расставленных по ширине пластины;
E = 2.0·108 кН/м2 - модуль упругости материала пластины и ребер;
ν = 0.3 - коэффициент Пуассона;
σ = 1.0·105 кН/м2 - начальное значение сжимающих усилий.


Файлы с исходными данными:

6.10_shell_beam_lambda_1.rar Расчетная схема с соотношениями сторон пластины a/b = 1.0
6.10_shell_beam_lambda_4.rar Расчетная схема с соотношениями сторон пластины a/b = 4.0


Конечноэлементная модель: Расчетная  схема – система общего вида. Рассматриваются две расчетные схемы с соотношениями сторон пластины a/b = 1.0; 4.0. Пластина моделируется восьмиузловыми элементами оболочки типа 50. Сетка конечных элементов разбита по сторонам пластины (вдоль осей X и Y общей системы координат) с шагом 0.075 м.  Количество элементов пластины по схемам – 64; 256. Ребра моделируются пространственными стержневыми элементами типа 5. Сетка конечных элементов разбита по длинам продольных осей ребер (вдоль осей X1 местных систем координат) с шагом 0.0375 м. Количество элементов ребер по схемам – 48; 192.  Обеспечение граничных условий достигается за счет наложения связей на узлы опорного контура пластины по направлению степени свободы Z. На одном из двух противоположных поперечных торцов пластины, подверженных воздействию сжимающих усилий, задаются равномерно распределенная по линии нагрузка на собственно пластину с начальным значением p = σ•h = 1000 кН/м и узловые нагрузки на ребра с начальным значением P = σ•F = 30 кН, а на узлы другого накладываются связи по соответствующему направлению (вдоль оси X общей системы координат). В целях обеспечения геометрической неизменяемости расчетной схемы на узлы одного из двух противоположных продольных торцов пластины, свободных от воздействий, накладываются связи по нормальному к нему направлению (вдоль оси Y общей системы координат). В этих же целях на узел одного из углов пластины накладывается связь по направлению UZ общей системы координат. Количество узлов по схемам – 225; 849.

Результаты решения в SCAD

Расчетная схема с соотношением сторон пластины a/b = 1.0

Расчетная схема с соотношением сторон пластины a/b = 4.0

1-я форма потери устойчивости для расчетной схемы с соотношением сторон пластины a/b = 1.0

2-я форма потери устойчивости для расчетной схемы с соотношением сторон пластины a/b = 1.0

3-я форма потери устойчивости для расчетной схемы с соотношением сторон пластины a/b = 1.0

1-я форма потери устойчивости для расчетной схемы с соотношением сторон пластины a/b = 4.0

2-я форма потери устойчивости для расчетной схемы с соотношением сторон пластины a/b = 4.0

3-я форма потери устойчивости для расчетной схемы с соотношением сторон пластины a/b = 4.0


Сравнение решений:

Критическое значение сжимающих усилий σcr, кН/м2

Расчетная схема

Форма

потери

устойчивости

Количество полуволн в поперечном n и продольном m направлениях

Теория

SCAD

Отклонение, %

a/b = 1.0

1

1; 1

235900

(235911)

2.359001•1000/0.01 =

= 235900

0.00

2

1; 2

533934

(535675)

5.339341•1000/0.01 =

= 533934

0.01

3

2; 2

942681

(943645)

9.426809•1000/0.01 =

= 942681

0.10

a/b = 4.0

1

1; 3

220165

(220164)

2.201645•1000/0.01 =

= 220165

0.00

2

1; 4

235900

(235911)

2.359002•1000/0.01 =

= 235900

0.00

3

1; 2

278652

(278654)

2.786517•1000/0.01 =

= 278652

0.00

Без скобок указаны теоретические значения, посчитанные в четвертом приближении;
В скобках указаны теоретические значения, посчитанные в первом приближении


Замечания: При аналитическом решении критическое значение сжимающих усилий σcr1 в первом приближении, соответствующее моменту потери устойчивости прямоугольной подкрепленной пластины, определяется по следующей формуле:

\[ \sigma_{cr1} =\frac{\pi^{2}\cdot D\cdot m^{2}}{b^{2}\cdot h\cdot \lambda ^{2}}\cdot \frac{\left[ {1+\left( {\frac{n\cdot \lambda }{m}} \right)^{2}} \right]^{2}+2\cdot \gamma \cdot \sum\limits_{i=1}^s {\sin^{2}\left( {\frac{\pi \cdot i}{s+1}} \right)} }{1+2\cdot \delta \cdot \sum\limits_{i=1}^s {\sin^{2}\left( {\frac{\pi \cdot i}{s+1}} \right)} }, \] \[ при \quad s=3 \quad \sigma_{cr1} =\frac{\pi^{2}\cdot D\cdot m^{2}}{b^{2}\cdot h\cdot \lambda^{2}}\cdot \frac{\left[ {1+\left( {\frac{n\cdot \lambda }{m}} \right)^{2}} \right]^{2}+4\cdot \gamma }{1+4\cdot \delta }, \quad где: \] \[ D=\frac{E\cdot h^{3}}{12\cdot \left( {1-\nu^{2}} \right)}, \quad \lambda =\frac{a}{b}, \quad \gamma =\frac{E\cdot I}{b\cdot D}, \quad \gamma =\frac{F}{b\cdot h}, \]

n, m = 1, 2, 3 … – число полуволн формы потери устойчивости в направлениях поперечном и продольном относительно сжатия пластины.

При аналитическом решении критическое значение сжимающих усилий σcr1 в четвертом приближении, соответствующее моменту потери устойчивости прямоугольной подкрепленной пластины, определяется из условия равенства нулю определителя системы разрешающих уравнений:

\[ \left| {{\begin{array}{*{20}c} {\begin{array}{l} \frac{\pi^{2}\cdot D\cdot m^{2}}{b^{2}\cdot h\cdot \lambda^{2}}\cdot \left[ {\left[ {1+\left( {\frac{n\cdot \lambda }{m}} \right)^{2}} \right]^{2}+4\cdot \gamma } \right] \\ -\sigma_{cr4} \cdot \left( {1+4\cdot \delta } \right) \\ \end{array}} & {-\frac{\pi^{2}\cdot D\cdot m^{2}}{b^{2}\cdot h\cdot \lambda^{2}}\cdot 4\cdot \gamma +\sigma_{cr4} \cdot 4\cdot \delta } & {\frac{\pi^{2}\cdot D\cdot m^{2}}{b^{2}\cdot h\cdot \lambda^{2}}\cdot 4\cdot \gamma -\sigma_{cr4} \cdot 4\cdot \delta } & {-\frac{\pi ^{2}\cdot D\cdot m^{2}}{b^{2}\cdot h\cdot \lambda^{2}}\cdot 4\cdot \gamma +\sigma_{cr4} \cdot 4\cdot \delta } \\ {-\frac{\pi^{2}\cdot D\cdot m^{2}}{b^{2}\cdot h\cdot \lambda^{2}}\cdot 4\cdot \gamma +\sigma_{cr4} \cdot 4\cdot \delta } & {\begin{array}{l} \frac{\pi^{2}\cdot D\cdot m^{2}}{b^{2}\cdot h\cdot \lambda^{2}}\cdot \left[ {\left[ {1+49\cdot \left( {\frac{n\cdot \lambda }{m}} \right)^{2}} \right]^{2}+4\cdot \gamma } \right] \\ -\sigma_{cr4} \cdot \left( {1+4\cdot \delta } \right) \\ \end{array}} & {-\frac{\pi^{2}\cdot D\cdot m^{2}}{b^{2}\cdot h\cdot \lambda^{2}}\cdot 4\cdot \gamma +\sigma_{cr4} \cdot 4\cdot \delta } & {\frac{\pi^{2}\cdot D\cdot m^{2}}{b^{2}\cdot h\cdot \lambda^{2}}\cdot 4\cdot \gamma -\sigma_{cr4} \cdot 4\cdot \delta } \\ {\frac{\pi^{2}\cdot D\cdot m^{2}}{b^{2}\cdot h\cdot \lambda^{2}}\cdot 4\cdot \gamma -\sigma_{cr4} \cdot 4\cdot \delta } & {-\frac{\pi ^{2}\cdot D\cdot m^{2}}{b^{2}\cdot h\cdot \lambda^{2}}\cdot 4\cdot \gamma +\sigma_{cr4} \cdot 4\cdot \delta } & {\begin{array}{l} \frac{\pi^{2}\cdot D\cdot m^{2}}{b^{2}\cdot h\cdot \lambda^{2}}\cdot \left[ {\left[ {1+81\cdot \left( {\frac{n\cdot \lambda }{m}} \right)^{2}} \right]^{2}+4\cdot \gamma } \right] \\ -\sigma_{cr4} \cdot \left( {1+4\cdot \delta } \right) \\ \end{array}} & {-\frac{\pi^{2}\cdot D\cdot m^{2}}{b^{2}\cdot h\cdot \lambda^{2}}\cdot 4\cdot \gamma +\sigma_{cr4} \cdot 4\cdot \delta } \\ {-\frac{\pi^{2}\cdot D\cdot m^{2}}{b^{2}\cdot h\cdot \lambda^{2}}\cdot 4\cdot \gamma +\sigma_{cr4} \cdot 4\cdot \delta } & {\frac{\pi ^{2}\cdot D\cdot m^{2}}{b^{2}\cdot h\cdot \lambda^{2}}\cdot 4\cdot \gamma -\sigma_{cr4} \cdot 4\cdot \delta } & {-\frac{\pi^{2}\cdot D\cdot m^{2}}{b^{2}\cdot h\cdot \lambda^{2}}\cdot 4\cdot \gamma +\sigma_{cr4} \cdot 4\cdot \delta } & {\begin{array}{l} \frac{\pi^{2}\cdot D\cdot m^{2}}{b^{2}\cdot h\cdot \lambda^{2}}\cdot \left[ {\left[ {1+225\cdot \left( {\frac{n\cdot \lambda }{m}} \right)^{2}} \right]^{2}+4\cdot \gamma } \right] \\ -\sigma_{cr4} \cdot \left( {1+4\cdot \delta } \right) \\ \end{array}} \\ \end{array} }} \right|=0 \]