Виды плоских конечных элементов

В систему SCAD включены различные плоские конечные элементы, имеющие форму треугольника и четырехугольника. Число узлов в некоторых типах элементов может быть больше чем число вершин. В этом случае дополнительные узлы лежат на одной или нескольких сторонах элемента и их номера следуют после номеров вершин в произвольном порядке.

Элементы для расчета тонких изгибаемых пластин

Эти КЭ всегда расположены в плоскости XOY и в их узлах определено по три степени свободы: W — вертикальное перемещение (прогиб), а также U_X, U_Y — углы поворота относительно осей X и Y. КЭ могут использоваться в схемах с признаками 3, 5, 8 и 9 и иметь изотропный, ортотропный или анизотропный материал. Вычисляются моменты M_X, M_Y, M_XY и перерезывающие силы Q_X и Q_Y. При задании коэффициента упругого основания С₁ вычисляется R_Z.

Перечень КЭ для расчета тонких изгибаемых пластин приведен в таблице 1.

Тип	Наименование	Число узлов	Порядок нумерации узлов и местные оси	Коментарии
11	Прямоугольный	4	рис.1, а	полусовместный [18,22,23]
12, 14	Треугольный	3	рис.1, б	несовместный [18,22,23]
13	Прямоугольный	4	рис.1, а	несовместный [28]
15	Треугольный	3-6	рис.1, г	SubAreas^[1]^{^{, вариант 1}}^{^{, [24,23]}}
16	Четырехугольный	4-8	рис.1, д	SubAreas, вариант 2 [25,23]
18	Треугольный	3-6	рис.1, г	SubAreas, вариант 2 [24,23]
19	Четырехугольный	4	рис.1, в	SubAreas, [25,23]
20	Четырехугольный	4-8	рис.1, д	SubAreas, [24,22], вариант 1

[1] SubAreas – метод подобластей: треугольные и четырехугольные элементы разбиваются, соответственно, медианами и диагоналями на треугольники, на каждом из которых используются для аппроксимации полиномы соответствующей степени таким образом, чтобы обеспечивалась совместность. Получаем кусочно-полиномиальные аппроксимации.

Изгиб пластин по теории Рейсснера-Миндлина

Данные элементы предназначены для расчета плит средней толщины и реализуют теорию Рейсснера-Миндлина. Они полностью аналогичны элементам для расчета тонких плит с точки зрения задания исходных данных. Отличие их от элементов, приведенных в табл. 1, только в номере типа — он на 100 больше. Например, элемент 120 — четырехугольный элемент с числом узлов от 4-х до 8-ми, как и элемент 20.

В каждом узле элементов вводится по три степени свободы: w — вертикальное перемещение (прогиб), положительное направление совпадает с направлением оси Z, а также U_X и U_Y углы поворота относительно осей X и Y.

Таблица 2. Типы элементов для расчета плит средней толщины(теория Рейсснера-Миндлина)

Тип	Наименование	Число узлов	Порядок нумерации узлов и местные оси	Коментарии
111	Прямоугольный	4	рис. а	JIDR4^[2] [91,23]
112	Треугольный	3	рис. б	JIDR3 [91,23]
115	Треугольный	3-6	рис. г	JIDR3-6 [91,23]
116	Четырехугольный	4-8	рис. ж	изопараметрический, JIDR [91,23]
118	Треугольный	3-6	рис. е	изопараметрический, JIDR [91,23]
119	Четырехугольный	4	рис. б	JIDR [91,23]
120	Четырехугольный	4-8	рис. д	JIDR, SubAreas [91,23]
512	Треугольный	3	рис. б	модифицированный, DSG3^[3],[23]
517	Четырехугольный	4	рис. в	изопараметрический, MITC4^[4] [2,75]
518	Треугольный	3	рис. б	DSG3 [76]

Перечень КЭ для расчета пластин по теории Рейсснера-Миндлина приведен в таблице 2.

Элементы для решения плоскодеформируемой и плосконапряженной задач теории упругости

Все рассматриваемые в этом разделе элементы позволяют рассчитывать как плосконапряженные, так и плоскодеформируемые системы (по признаку, который задается при описании жесткостных характеристик элементов).

Существуют следующие группы типов элементов:

Таблица 3. Типы элементов для плоской задачи теории упругости

Степени свободы узлов	Тип	Наименование	Число узлов	Порядок нумерации узлов и местные оси	Коментарии
X, Z	21	Прямоугольный	4	рис. а	полилинейные функции формы
	22	Треугольный	3	рис. б	линейные функции формы
	25	Треугольный	3-6	рис. г	SubAreas [16, 23]
	29	Четырехугольный	4-12	рис. з	SubAreas [26, 23]
	30	Четырехугольный	4-8	рис. д	SubAreas [26, 23]
X, Y, Z	23	Прямоугольный	4	рис. а	полилинейные функции формы
	24	Треугольный	3	рис. б	линейные функции формы
	26	Четырехугольный	4-8	рис. ж	изопараметрический
	27	Четырехугольный	4-8	рис. д	SubAreas [26, 23]
	28	Треугольный	3-6	рис. е	изопараметрический
Элементы с вращательными (DDF) и квазивращательными степенями свободы (QRDF)
X, Y, U_Y	121	Прямоугольный	4	рис. а	DDF^[6], несовместный [90, 23]
	122	Треугольный	3	рис. б	DDF, несовместный [90, 23]
	125	Треугольный	3-6	рис. г	DDF, SubAreas [90, 23]
	129	Четырехугольный	4-8	рис. д	DDF, SubAreas, несовместный [90, 23]
	130	Четырехугольный	4-8	рис. д	DDF, SubAreas [90, 23]
	526	Четырехугольный	4	рис. в	QRDF^[7], изопараметрический [90, 23]
	527	Четырехугольный	4	рис. в	QRDF, SubAreas [90, 23]
	528	Треугольный	3	рис. б	QRDF [90, 23]

Все элементы могут иметь изотропный, ортотропный или анизотропный материал, а также трансверсально-изотропный для плоской деформации.

Перечень элементов и их основные свойства приведены в таблице 3.

Вычисляемые напряжения — N_X, N_Z, N_XZ, а также N_Y — при расчете конструкций, находящихся в состоянии плоской деформации.

При задании коэффициента упругого основания С_uv вычисляются R_x и R_z.

Конечные элементы для расчета тонких пологих оболочек

Конечные элементы, предназначенные для расчета тонких пологих оболочек, могут занимать любое положение в пространстве. В узлах элементов определено по шесть степеней свободы — U, V, W, U_X, U_Y и U_Z (три линейных перемещения вдоль и три угла поворота вокруг координатных осей). Степени свободы U, V отвечают мембранным, а W, U_X, U_Y — изгибным деформациям.

Существуют следующие группы типов элементов:

Материал — изотропный, ортотропный и анизотропный.

Таблица 4. Элементы для расчета тонких оболочек (теория Киргхофа-Лява)

Тип	Наименование	Число узлов	Порядок нумерации узлов и местные оси	Степени свободы	Коментарии
41	Прямоугольный	4	рис. а	U, V	полилинейные функции формы
41	Прямоугольный	4	рис. а	W, U_X, U_Y	полусовместный [18, 22, 23]
42	Треугольный	3	рис. б	U, V	линейные функции формы
42	Треугольный	3	рис. б	W, U_X, U_Y	несовместный [18, 22, 23]
43	Прямоугольный	4	рис. а	U, V	полилинейные функции формы
43	Прямоугольный	4	рис. а	W, U_X, U_Y	несовместный [28, 23]
44	Четырехугольный	4	рис. в	U, V	SubAreas [26, 23]
44	Четырехугольный	4	рис. в	W, U_X, U_Y	SubAreas [25, 23]
45	Треугольный	3-6	рис. г	U, V	SubAreas [16, 23]
45	Треугольный	3-6	рис. г	W, U_X, U_Y	SubAreas [24, 23], вариант 1
46	Четырехугольный	4-8	рис. в	U, V	SubAreas [26, 23]
46	Четырехугольный	4-8	рис. в	W, U_X, U_Y	SubAreas, вариант 2 [25, 23]
48	Треугольный	3-6	рис. г	U, V	SubAreas [16, 23]
48	Треугольный	3-6	рис. г	W, U_X, U_Y	SubAreas, вариант 2 [24, 23]
50	Четырехугольный	4-8	рис. д	U, V	SubAreas [26, 23]
50	Четырехугольный	4-8	рис. д	W, U_X, U_Y	SubAreas, вариант 1 [25, 23]
Элементы с вращательными (DDF) и квазивращательными степенями свободы (QRDF)
91	Прямоугольный	4	рис. а	U, V, U_Z	DDF, несовместный [90, 23]
91	Прямоугольный	4	рис. а	W, U_X, U_Y	полусовместный [18, 22, 23]
92	Треугольный	3	рис. б	U, V, U_Z	DDF, несовместный [90, 23]
92	Треугольный	3	рис. б	W, U_X, U_Y	несовместный [18, 22, 23]
93	Прямоугольный	4	рис. а	U, V, U_Z	DDF, несовместный [90, 23]
93	Прямоугольный	4	рис. а	W, U_X, U_Y	несовместный [28, 23]
94	Четырехугольный	4	рис. д	U, V, U_Z	DDF, SubAreas, несовместный [90, 23]
94	Четырехугольный	4	рис. д	W, U_X, U_Y	SubAreas, [25, 23]
95	Треугольный	3-6	рис. г	U, V, U_Z	DDF, SubAreas [90, 23]
95	Треугольный	3-6	рис. г	W, U_X, U_Y	SubAreas [24, 23]
96	Четырехугольный	4-8	рис. д	U, V, U_Z	DDF, SubAreas [90, 22]
96	Четырехугольный	4-8	рис. д	W, U_X, U_Y	SubAreas [25, 23]
97	Четырехугольный	4-8	рис. д	U, V, U_Z	DDF, SubAreas, несовместный [90, 23]
97	Четырехугольный	4-8	рис. д	W, U_X, U_Y	SubAreas [25, 23]
591	Прямоугольный	4	рис. а	U, V, U_Z	QRDF4 [90, 23]
591	Прямоугольный	4	рис. а	W, U_X, U_Y	полусовместный [18, 22, 23]
592	Треугольный	3	рис. б	U, V, U_Z	QRDF3 [90, 23]
592	Треугольный	3	рис. б	W, U_X, U_Y	несовместный [18, 22, 23]
593	Прямоугольный	4	рис. в	U, V, U_Z	QRDF4, [90, 23]
593	Прямоугольный	4	рис. в	W, U_X, U_Y	несовместный [28, 23]
594	Четырехугольный	4	рис. в	U, V, U_Z	QRDF4, SubAreas [23]
594	Четырехугольный	4	рис. в	W, U_X, U_Y	SubAreas [25, 23]

Вычисляются напряжения N_X, N_Y, N_XY, моменты M_X, M_Y, M_XY и перерезывающие силы Q_X и Q_Y. При задании коэффициента упругого основания С₁ вычисляется R_z, а при задании – С_uv вычисляются R_x и R_y.

Вграфическом постпроцесоре вычисляются усилия в сечении пластины SN_X, SNZ_Z, SN_XZ.

Конечные элементы для расчета оболочек по теории Рейсснера-Миндлина

Данные элементы предназначены для расчета пологих оболочек с учетом сдвига и реализуют теорию Рейсснера-Миндлина. Они полностью аналогичны элементам для расчета тонких оболочек с точки зрения задания исходных данных.

Таблица 5. Элементы для расчета оболочек средней толщины (теория Рейсснера-Миндлина)

Тип	Наименование	Число узлов	Порядок нумерации узлов и местные оси	Степени свободы	Коментарии
141	Прямоугольный	4	рис. а	U, V	полилинейные формы
141	Прямоугольный	4	рис. а	W, U_X, U_Y	JIDR, несовместный [91, 23]
142	Треугольный	3	рис. б	U, V	линейные функции формы
142	Треугольный	3	рис. б	W, U_X, U_Y	JIDR3 [91, 23]
143	Четырехугольный изопараметрич.	4	рис. в	U, V	полилинейные функции формы
143	Четырехугольный изопараметрич.	4	рис. в	W, U_X, U_Y	MITC4, изопараметрический [3, 75, 23]
144	Четырехугольный	4	рис. в	U, V	SubAreas [26, 23]
144	Четырехугольный	4	рис. в	W, U_X, U_Y	JIDR4, SubAreas [91, 23]
145	Треугольный	3-6	рис. г	U, V	SubAreas [26, 23]
145	Треугольный	3-6	рис. г	W, U_X, U_Y	JIDR, SubAreas [91, 23]
146	Четырехугольный изопараметрич.	4-8	рис. д	U, V	изопараметрический
146	Четырехугольный изопараметрич.	4-8	рис. д	W, U_X, U_Y	JIDR, изопараметрический [91, 23]
147	Треугольный, изопараметрич.	3-6	рис. е	U, V	изопараметрический
147	Треугольный, изопараметрич.	3-6	рис. е	W, U_X, U_Y	JIDR, изопараметрический [91, 23]
148	Треугольный	3	рис. б	U, V	линейные функции формы
148	Треугольный	3	рис. б	W, U_X, U_Y	DSG3M [23]
149	треугольный	3	рис. б	U, V	линейные функции формы
149	треугольный	3	рис. б	W, U_X, U_Y	DSG3 [76, 23]
150	четырехугольный	4-8	рис. д	U, V	JIDR, SubAreas [26, 23]
150	четырехугольный	4-8	рис. д	W, U_X, U_Y	JIDR, SubAreas [91, 23]
Элементы с вращательными (DDF) и квазивращательными степенями свободы (QRDF)
191	Прямоугольный	4	рис. а	U, V, U_Z	DDF, несовместный [90, 23]
191	Прямоугольный	4	рис. а	W, U_X, U_Y	JIDR [91, 23]
192	Треугольный	3	рис. б	U, V, U_Z	DDF, SubAreas, [90, 23]
192	Треугольный	3	рис. б	W, U_X, U_Y	JIDR, SubAreas [91, 23]
194	Четырехугольный	4	рис. в	U, V, U_Z	DDF, SubAreas [90, 23]
194	Четырехугольный	4	рис. в	W, U_X, U_Y	JIDR, SubAreas [91, 23]
195	Треугольный	3-6	рис. г	U, V, U_Z	DDF, SubAreas [91, 23]
195	Треугольный	3-6	рис. г	W, U_X, U_Y	JIDR, SubAreas [91, 23]
196	Четырехугольный	4-8	рис. д	U, V, U_Z	DDF, SubAreas [90, 23]
196	Четырехугольный	4-8	рис. д	W, U_X, U_Y	JIDR, SubAreas, [91, 23]
197	Четырехугольный	4-8	рис. д	U, V, U_Z	DDF, несовместный, SubAreas [90, 23]
197	Четырехугольный	4-8	рис. д	W, U_X, U_Y	JIDR, SubAreas, [91, 23]
542	Треугольный	3	рис. б	U, V, U_Z	QRDF [90, 23]
542	Треугольный	3	рис. б	W, U_X, U_Y	JIDR [91, 23]
543	Четырехугольный	4	рис. в	U, V, U_Z	QRDF, изопараметрический [90, 23]
543	Четырехугольный	4	рис. в	W, U_X, U_Y	MITC4, изопараметрический [3, 75, 23]
544	Четырехугольный	4	рис. а	U, V, U_Z	QRDF, SubAreas [90, 23]
544	Четырехугольный	4	рис. а	W, U_X, U_Y	JIDR, SubAreas [91, 23]
546	Четырехугольный	4	рис. в	U, V, U_Z	QRDF, изопараметрический [90, 23]
546	Четырехугольный	4	рис. в	W, U_X, U_Y	JIDR, изопараметрический [91, 23]
547	Трехугольный	4	рис. б	U, V, U_Z	QRDF [90, 23]
547	Трехугольный	4	рис. б	W, U_X, U_Y	DSG3M [23]
548	Треугольный	3	рис. б	U, V, U_Z	QRDF [90, 23]
548	Треугольный	3	рис. б	W, U_X, U_Y	DSG3 [76, 23]