Состав библиотеки конечных элементов

Когда в программной документации говорят о типах конечных элементов, то обычно под этим подразумевают ссылку на номер или иной идентификационный признак (например, имя) соответствующего раздела из задействованной в программе библиотеки конечных элементов. В таблице дана классификация типов КЭ, включеных в библиотеку конечных элементов, возможные признаки расчетной схемы для их работы, идентификация вычисляемых усилий (напряжений).

В теории метода конечных элементов установлен ряд важных теорем о сходимости, например, для совместных элементов [61] определено, что если (k-1) является степенью полинома, с помощью которого внутри ко­нечных элементов аппроксимируются пере­мещения, и решается эллиптическая краевая задача порядка 2m, для которой получено при­ближенное решение в перемещениях u_h, то ошибка в энергии, по сравнению с точным решением u, составляет

\[ U(u-u_{h}, u-u_{h}) \leq Ch^{2(k-m)} \parallel u \parallel^2_{h}, \]

где h — это минимальный диаметр шара, в который можно вложить любой КЭ расчетной схемы. В этой оцен­ке справа участвует норма \( \parallel u \parallel_{k} \) — среднеквадратичная величина k-ой производной от искомой функции u.

Для несовместных КЭ аналогичные оценки получены в работах И.Д. Евзерова [12] и В.С. Карпиловского [22, 23].

Математически доказанные условия сходимости метода конечных элементов полезно дополнить некоторыми соображениями механического характера, которые создают возможность неформального анализа. Аппроксимация поля перемещений и усилий некоторым конечным набором заранее заданных функций сужает возможность произвольного деформирования, т. е. может трактоваться как наложение некоторых связей. Если элементы несовместны, то по их границам возможны некоторые перемещения, не существующие в континуальной расчетной модели (например, взаимные углы поворота пластин), которые соответствуют отсутствию некоторых связей.

При увеличении числа конечных элементов и уменьшении их размеров растет общее число степеней свободы конструкции и, следовательно, уменьшается влияние наложенных связей. Этот процесс при выполнении определенных условий и обеспечивает сходимость метода для совместных конечных элементов. С другой стороны, этот же процесс ведет к тому, что уменьшаются взаимные перемещения на межэлементных границах в несовместных элементах, что можно трактовать как определенное замыкание ранее снятых связей. Значит, сходимость несовместных элементов может иметь место лишь в тех случаях, когда положительные тенденции от преодоления наложенных связей превалируют над этой отрицательной тенденцией наложения связей на межэлементных границах.

Усилия и напряжения, возникающие в конечных элементах, по умолчанию вычисляются в начале, середине и конце стержня, а для других типов КЭ — в центре тяжести. Можно заказать вычисление усилий для стержней в промежуточных сечениях, а для других типов КЭ — в узлах. Обычно усилия и напряжения в КЭ вычисляются в местной системе координат. Для стержней, например, это главные оси инерции поперечных сечений гибкой части. Для всех плоских и объемных КЭ возможно задание специальной системы координат вычисления усилий.

В настоящей главе представлен состав библиотеки конечных элементов для линейного расчета.

Положительные направления перемещений по осям X, Y и Z совпадают с положительным на­правлением соответствующей оси, положительные направления углов поворота U_X, U_Y и U_Z про­ти­воположны направлению вращения часовой стрелки, если смотреть с конца соответствующей оси.

Для нагрузок различного вида, задаваемых на конечные элементы, в системе приняты следующие правила знаков:

• положительный знак силы означает, что она направлена против направления осей местной или общей систем координат;
• положительный знак момента означает, что его направление совпадает с направлением вращения часовой стрелки, если смотреть с конца соответствующей оси;
• при положительном знаке температурного перепада считается, что верхнее (если смотреть с конца соответствующей оси) волокно имеет более высокую температуру, чем нижнее.

При вводе исходных данных в режиме графического диалога, как правило, не возникает про­блем задания информации для тех или иных типов конечных элементов.