Общие сведения

Эти элементы предназначены для определения напpяженно-дефоpмиpованного состояния тел вра­щения (осесимметричные твердые тела) из однородного (по направлению любой из осей r, Z элемента) изотропного, тpансвеpсально-изотpопного или ортотроп­ного линейно-упpугого материала, находящихся под воздействием осесимметричной нагрузки [30]. При осесимметричной деформации напряженное состояние в любом сечении по оси симметрии тела рассматривается как функция лишь радиуса r и высоты Z и опре­деляется двумя компонентами перемещений. Такие сечения пока­за­ны на рисунке. При этом возможно рассмотрение одного из следующих случаев упругой симметрии:

 
  • полная симметрия (изотропное тело);
  • плоскость изотропии (тpансвеpсально-изотpопное тело);
  • три плоскости упругой симметрии (оpтотpопно-анизотpопное или ортотропное тело).

Опишем их, используя следующие обозначения:

  • εr, εz, εθ, γrz — относительные линейные и угловая деформация;
  • σr, σz, τrz — нормальные и касательные напряжения в плоскости сечения;
  • σθ — нормальное напряжение в направлении ортогональном плоскости сечения;
  • E, Ei — модули Юнга по главным направлениям упругости;
  • G — модуль сдвига;
  • ν, νik — коэффициенты Пуассона, характеризующие поперечное сокращение при сжатии или расширение при растяжении в направлении осей координат. Первый индекс показывает направление деформации, второй — направление действия силы.

Относительные линейные и угловая деформации εr, εz, εθ, γrz через смещения запишутся следующим образом:

\[ \varepsilon_{z} =\frac{\partial \,v}{\partial \,z}, \quad \varepsilon_{r} =\frac{\partial u}{\partial r}, \quad \varepsilon_{\theta } =\frac{u}{r}, \quad \gamma_{rz} =\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial v}{\partial r}. \]

Деформации и напряжения связаны между собой зависимостями:

изотропное тело:

\[ \varepsilon_{z} =\frac{1}{E}\left[ {\sigma_{z} -\nu \left( {\sigma_{r} +\sigma_{\theta } } \right)} \right], \] \[ \varepsilon_{r} =\frac{1}{E}\left[ {\sigma_{r} -\nu \left( {\sigma_{z} +\sigma_{\theta } } \right)} \right], \] \[ \varepsilon_{\theta } =\frac{1}{E}\left[ {\sigma_{\theta } -\nu \left( {\sigma_{z} +\sigma_{r} } \right)} \right], \] \[ \gamma_{rz} =\tau_{rz} /G, \] \[ G=\frac{E}{2(1+\nu )}; \]

тpансвеpсально-изотpопное тело:

\[ \varepsilon_{r} =\frac{1}{E}\sigma_{r} -\;\frac{\nu \,}{E}\sigma_{\theta } -\;\frac{{\nu }'}{E_{z} }\,\sigma_{z} , \] \[ \varepsilon_{\theta } =-\;\frac{\nu \,}{E}\sigma_{r} +\;\frac{1}{E}\sigma _{\theta } -\;\frac{{\nu }'}{E_{z} }\sigma_{z} , \] \[ \varepsilon_{z} =-\;\frac{\;{{\nu }'}'}{E}\left( {\sigma_{r} +\sigma _{\theta } } \right)+\;\frac{1}{E_{z} }\sigma_{z} , \] \[ \gamma_{rz} =\tau_{rz} /G_{r} , \] \[ {\nu }'=\nu_{rz} =\nu_{\theta \,z} ,\quad {{\nu }'}'=\nu_{zr} =\nu _{\,z\theta } \]

ортотропное тело:

\[ \varepsilon_{z} =\;\frac{1}{E_{z} }\sigma_{z} -\;\frac{\nu_{zr} }{E_{r} }\sigma_{r} -\;\frac{\nu_{z\theta } }{E_{\theta } }\sigma_{\theta } , \] \[ \varepsilon_{r} =\frac{1}{E_{r} }\sigma_{r} -\;\frac{\nu_{r\theta } }{E_{\theta } }\sigma_{\theta } -\;\,\frac{\nu_{rz} }{E_{z} }\sigma_{z} , \] \[ \varepsilon_{\theta } =\;\frac{1}{E_{\theta } }\sigma_{\theta } -\;\frac{\nu_{\theta \,r} }{E_{r} }\sigma_{r} -\,\;\frac{\nu_{\theta \,z} }{E_{z} }\sigma_{z} , \] \[ \gamma_{rz} =\tau_{rz} /G \]

Предполагается, что выполнены условия симметрии: Erνrθ= Eθνθr , Ezνzr=Errνrz , Eθνθz= Ezνzθ , являющиеся обязательными для любого анизотропного материала, для которого справедливо допущение о существовании упругого потенциала.